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<title>Swaption</title>

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<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Swaption</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p><b>Swaptions</b> sind im <a href="Finanzwesen" title="Finanzwesen">Finanzwesen</a> <a href="Option_(Wirtschaft)" title="Option (Wirtschaft)">Optionen</a>, die es dem Käufer gegen die Zahlung einer einmaligen <a href="Pr%C3%A4mie" title="Prämie">Prämie</a> erlauben, zu einem bestimmten Zeitpunkt (europäische Swaption), bis zu einem bestimmten Zeitpunkt (amerikanische Swaption, extrem selten) oder zu festgelegten aufeinanderfolgenden Zeitpunkten (Bermuda-Swaption) in einen <a href="Zinsswap" title="Zinsswap">Zinsswap</a> einzutreten. Der Swap ist hinsichtlich seiner Laufzeit und <a href="Zins" title="Zins">Zinshöhe</a> festgesetzt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Arten_von_Swaptions">Arten von Swaptions</h2></div>

<p>Man unterscheidet zwischen Payer-Swaptions und Receiver-Swaptions:

</p>

<ul><li><b>Receiver-Swaption</b> (selten auch: <i>Put Swaption</i> genannt): Der Käufer einer Receiver-Swaption hat das Recht, in einen Swap einzutreten, in dem er einen festen Zinssatz empfängt und einen variablen Zinssatz zahlt. Die Receiver-Swaption ist eine Absicherung gegen fallende Zinsen.</li></ul>

<ul><li><b>Payer-Swaption</b> (selten auch: <i>Call Swaption</i> genannt): Der Käufer einer Payer-Swaption hat das Recht, in einen Swap einzutreten, in dem er einen festen Zinssatz zahlt und einen variablen Zinssatz empfängt. Die Payer-Swaption ist eine Absicherung gegen steigende Zinsen.</li></ul>

<p>Die Begriffe „Call“- und „Put“-Swaption sind in der Praxis eher unüblich und die Verwendung in der Literatur ist uneinheitlich.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ausübung_von_Swaptions"><span id="Aus.C3.BCbung_von_Swaptions"></span>Ausübung von Swaptions</h2></div>

<p>Beim Swap <a href="Settlement_(Finanzwesen)" title="Settlement (Finanzwesen)">Settlement</a> (oder Physical Settlement) treten Käufer und Verkäufer der Swaption im Falle der Ausübung in einen Zinsswap ein.

</p><p>Beim Cash Settlement bezahlt der Verkäufer dem Käufer den aktuellen Barwert des Zinsswaps. Dieser ergibt sich durch Abzinsung der Differenz zwischen vereinbartem Festsatz (<i>Strike</i> der Swaption) und dem aktuell am Swapmarkt gehandelten Festsatz (<i>aktueller Swapsatz</i>). Im Euroraum herrscht dabei die Konvention vor, mit dem aktuellen Swapsatz abzuzinsen, d. h. keine Abzinsung an der Zinskurve.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Optionspreisberechnung">Optionspreisberechnung</h2></div>

<p>Eines der meistverbreiteten Modelle zur Bewertung der europäischen Swaptions ist das klassische Modell von <a href="Fischer_Black" title="Fischer Black">Fischer Black</a> aus dem Jahre 1976<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. Es ist gerade wegen der leichten Verständlichkeit und der einfachen Implementierung auch heute noch sehr populär. Das Modell wurde ursprünglich von Fischer Black und <a href="Myron_Samuel_Scholes" class="mw-redirect" title="Myron Samuel Scholes">Myron Samuel Scholes</a> im nach ihnen benannten <a href="Black-Scholes-Modell" title="Black-Scholes-Modell">Black-Scholes-Modell</a> im Jahre 1973 für die Bewertung von Aktienoptionen entwickelt und unterstellt <a href="Logarithmische_Normalverteilung" title="Logarithmische Normalverteilung">logarithmisch-normalverteilte</a> Aktienkurse.<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Durch die Anwendung dieses Modells bei der Bewertung von Swaptions wird die Annahme der Lognormalverteilung der Aktienkurse auf die Veränderungen der Swaprate übertragen.

</p><p>Der Preis für eine Payer Swaption mit Cash Settlement <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}" loading="lazy"></span> ergibt sich wie folgt:

</p>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c=a\cdot e^{-rT}\left[FN(d_{1})-XN(d_{2})\right]}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/be36dac74fee98e3353eb6951acbd826eaf4768f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.021ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle c=a\cdot e^{-rT}\left[FN(d_{1})-XN(d_{2})\right]}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Der Preis für eine Receiver Swaption mit Cash Settlement <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"></span> ergibt sich wie folgt:

</p>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p=a\cdot e^{-rT}\left[XN(-d_{2})-FN(-d_{1})\right]}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b985b2cb77130843c7c3d9dc533930721822cb2f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:35.889ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle p=a\cdot e^{-rT}\left[XN(-d_{2})-FN(-d_{1})\right]}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>mit:

</p>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d_{1}={\frac {\ln \left({\frac {F}{X}}\right)+\left({\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}\quad {\text{und}}\quad d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d2d2a8f9097586a85911c39a283536eac6d42f2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:47.286ex; height:8.509ex;" alt="{\displaystyle d_{1}={\frac {\ln \left({\frac {F}{X}}\right)+\left({\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}\quad {\text{und}}\quad d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

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</mrow>

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</msup>

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a={\frac {1-\left(1+{\frac {F}{m}}\right)^{-t\cdot m}}{F}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a7583a28802cfed82d538e89824d9a2ca49bb687.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:22.229ex; height:7.843ex;" alt="{\displaystyle a={\frac {1-\left(1+{\frac {F}{m}}\right)^{-t\cdot m}}{F}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"></span> = Laufzeit des Swaps (in Jahren)</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"></span> = <a href="Forward_rate" class="mw-redirect" title="Forward rate">Forward rate</a> des Swaps</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"></span> = der Strike, d. h. der vertraglich vereinbarte Festsatz des Swaps</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"></span> = risikofreier Zinssatz</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"></span> = Laufzeit der Option (in Jahren bis zur Ausübung)</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }" loading="lazy"></span> = <a href="Implizite_Volatilit%C3%A4t" title="Implizite Volatilität">Implizite Volatilität</a> der Forward rate des Swaps</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"></span> = Zahlungsfrequenz des Festsatzes (1 = jährlich, 2 = halbjährlich)</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Rolf Beike, Andreas Barckow: <i>Risk-Management mit Finanzderivaten. Steuerung von Zins- und Währungsrisiken.</i> 3. aktualisierte und erweiterte Auflage. Oldenbourg, München u. a. 2002, ISBN 3-486-25848-6 (<i>Lehr- und Handbücher zu Geld, Börse, Bank und Versicherung</i>).</span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">Atsuo Konishi, Ravi E. Dattatreya (Hrsg.): <i>The Handbook of Derivative Instruments. Investment Research, Analysis and Portfolio Applications.</i> Probus Publishing Co., Chicago IL 1991, ISBN 1-55738-154-2 (<i>An Institutional Investor Publication</i>).</span>

</li>

<li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="Fischer_Black" title="Fischer Black">Fischer Black</a>: <i>The Pricing of Commodity Contracts.</i> In: <i>Journal of Financial Economics.</i> 3, 1/2, 1976, <span class="-print"><a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <span style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%220304-405X%22&key=cql">0304-405X</a></span></span>, S. 167–179.</span>

</li>

<li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text">Fischer Black, <a href="Myron_Scholes" class="mw-redirect" title="Myron Scholes">Myron Scholes</a>: <i>The Pricing of Options and Corporate Liabilities.</i> In: <i>Journal of Political Economy.</i> 81, 3, 1973, <span class="-print"><a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <span style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%220022-3808%22&key=cql">0022-3808</a></span></span>, S. 637–654. </span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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